Question

已知函数f（x）=x³-（a+b）x²+abx，这里0＜a＜b．
（Ⅰ）设f（x）在x=s与x=t处取得极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；
（Ⅱ）设点A（s，f（s）），B（t，f（t）），求证：线段AB的中点C在曲线y=f（x）上．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数的极值点出导数为0，知，极值点是导数等于零的根，所以先求导，再解导数等于零，两根为s，t，再判断x=a，b时导数的正负，比较大小即可．
（Ⅱ）求出AB的中点坐标，再代入y=f（x），判断是否成立即可．

解答： 证明：（Ⅰ）∵f（x）=x³-（a+b）x²+abx，
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
则3x²-2（a+b）x+ab=0的两根是s，t
∵f′（0）=ab＞0
f′（a）=a²-ab=a（a-b）＜0
f′（b）=b（b-a）＞0
∴0＜s＜a＜t＜b．
（Ⅱ）设AB中点C（x₀，y₀），
则x0=

s+t

2

，y0=

f(s)+f(t)

2

，
故有s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

，
∴x0=

a+b

3

，
f（s）+f（t）=（s³+t³）-（a+b）（s²+t²）+ab（s+t）
=-

4

27

(a+b)3+

2

3

ab(a+b)，
∴y0=-

2

27

(a+b)2+

1

3

ab(a+b)．
代入验算可知C在曲线y=f（x）上．
∴线段AB的中点C在曲线y=f（x）上．

点评：本题考查不等式的证明，考查线段的中点到曲线上的证明，解题时要注意导数知识的合理运用，是中档题．