Question

在十个数字0、1、2、…、9中不重复地任意取四个数字．
（1）各位数字从高位到低位顺序递减的四位数有多少个；
（2）能组成多少个1不在末位的四位数；
（3）其中偶数只能在个位、百位上的四位数有多少．

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：应用题,排列组合

分析：（1）各位数字从高位到低位顺序递减，分类讨论，利用加法原理，可得结论；
（2）利用间接法，求1不在末位的四位数；
（3）个位、百位上取到0，有

C

1 4

A

2 2

A

2 5

=160，个位、百位上取不到0，有

A

2 4

C

1 7

C

1 7

=588，利用加法原理，可得结论．

解答： 解：（1）当a为9，b为8，c为7时，d为6，5，4，3，2，1，0共7种情况，
当a为9，b为8，c为6时，d为5，4，3，2，1，0共6种情况，
当a为9，b为8，c为5时，d为4，3，2，1，0共5种情况，
当a为9，b为8，c为4时，d为3，2，1，0共4种情况，
当a为9，b为8，c为3时，d为2，1，0共3种情况，
当a为9，b为8，c为2时，d为1，0共2种情况，
当a为9，b为8，c为1时，d为0共1种情况，
以98为千位，百位的四位数共有7+6+5+4+3+2+1=28种；
同理可得以97为千位，百位的四位数共有6+5+4+3+2+1=21种，
以96千位，百位的四位数共有5+4+3+2+1=15种，
以95千位，百位的四位数共有4+3+2+1=10种，
以94千位，百位的四位数共有3+2+1=6种，
以93千位，百位的四位数共有2+1=3种，
以92千位，百位的四位数共有1种，
因此以9开头的四位数共有28+21+15+10+6+3+1=84；
同理得出分别以8、7、6、5、4、3开头的四位数有：84-28=56个，56-21=35个，35-15=20个，20-10=10个，10-6=4个，4-3=1个；
所以符合条件的四位数共有：84+56+35+20+10+4+1=210个；
（2）四位数共有9

A

3 9

=4536，1在末位的四位数有9

A

2 9

=648，
∴1不在末位的四位数有3888；
（3）个位、百位上取到0，有

C

1 4

A

2 2

A

2 5

=160，个位、百位上取不到0，有

A

2 4

C

1 7

C

1 7

=588，
∴偶数只能在个位、百位上的四位数有160+588=748．

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．