Question

如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.

(1)求·＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值．

Answer 1

（1）＋1（2）

(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，
因为四边形OAQP是平行四边形，
所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)
＝(1＋cos θ，sin θ)．
所以·＝1＋cos θ.
又平行四边形OAQP的面积为
S＝||·| |sin θ＝sin θ，
所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin ＋1.
又0<θ<π，
所以当θ＝时，·＋S的最大值为＋1.
(2)由题意，知＝(2,1)，＝(cos θ，sin θ)，
因为CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.
又0<θ<π，cos²θ＋sin²θ＝1，
解得sin θ＝，cos θ＝，
所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos2θ＝cos²θ－sin²θ＝.
所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝.