Question

如图所示，角A为钝角，且sin A＝，点P，Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点．
 
(1)若AP＝5，PQ＝3，求AQ的长；
(2)若∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cos α＝，求sin(2α＋β)的值．

Answer 1

（1）2.（2）

∵角A是钝角，sin A＝，∴cos A＝－.
(1)在△APQ中，由余弦定理得PQ²＝AP²＋AQ²－2AP·AQcos A，所以AQ²＋8AQ－20＝0，
解得AQ＝2或－10(舍去负值)，所以AQ＝2.
(2)由cos α＝，得sin α＝，
在△APQ中，α＋β＋A＝π，
得sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sin A＝，cos(α＋β)＝－cos A＝，
∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝.