Question

(本小题满分14分)

已知一几何体的三视图如图(甲)示，(三视图中已经给出各投影面顶点的标记)

(1)在已给出的一个面上(图乙)，画出该几何体的直观图；

(2)设点F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，求证：FG//平面ABE；

(3)求该几何体的体积．

Answer 1

解：（1）该几何体的直观图如图示：  ………………………… 4分

（说明：画出AC平面ABCD得2分，其余2分，其他

画法可按实际酌情给分）

（2）证法一：取BA的中点I，连接FI、IE，

∵F、I分别为AC、AB的中点，∴FIBC，………… 5分

∵BC//ED  ∴FIED，

又EG=ED ，∴FIEG

∴四边形EGFI为平行四边形，……………………………………………………………… 7分

∴EI//FG

又∵面，面 ∴FG//平面ABE …………………………………… 9分

证法二：由图（甲）知四边形CBED为正方形

∵F、H、G分别为AC,AD ,DE的中点

∴FH//CD， HG//AE  ………………………………………………………………………… 5分

∵CD//BE，  ∴FH//BE

∵面，面

∴面  …………………………………………………………………………… 7分

同理可得面

又∵∴平面FHG//平面ABE  ……………………………………………… 8分

又∵面 ∴FG//平面ABE  …………………………………………………… 9分

（3）由图甲知ACCD，ACBC,

∴AC平面ABCD,  即AC为四棱棱锥的高  …………………………………… 10分

∵底面ABCD是一个正方形，  ……………………………………………… 12分

∴该几何体的体积：

  …………………………………………………………………… 14分