Question

已知曲线：.

（Ⅰ）当时，求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）设斜率为的两条直线与曲线相切于两点，求证：中点在曲线上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，又已知直线的方程为：，求的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时,先求导，通过斜率为1得到切点.然后利用点斜式得到所求切线方程；（Ⅱ）先将两点的坐标设出，其中纵坐标用相应点的横坐标表示.再由导数的几何意义，得到两点横坐标满足.从而得到中点，又中点在曲线上 ，显然成立．得证；（Ⅲ）由中点在直线，又在曲线，从而得，再反代如直线与曲线联立得方程，得到两点的坐标，代入导函数中得到斜率，从而得到.

试题解析：（Ⅰ）当时，，

 设切点为，由，切点为

故为所求．                 (4分)

（Ⅱ），设，

由导数的几何意义有

 

中点，即，

又中点在曲线上 ，显然成立．得证．      (8分)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，中点的横坐标为，且在上，，

又在曲线上，，

所以．

由，

 

由于，

故．

综上，为所求．                                   (13分)

考点：1.导数的几何意义；2.直线的方程；3.直线与曲线的位置关系.