Question

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设

AP

=λ

PB

．
①当λ=1时，求直线m的方程；
②当△AOB的面积为4

2

时（O为坐标原点），求λ的值．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，根据题意可知|MF|=|y+2|-1利用两点间的距离公式建立等式整理求得x和y的关系式，即M的轨迹方程．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，进而设直线m的方程，代入抛物线的方程，整理后利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，①利用λ=1判断出P是AB的中点，进而求得k，则直线的方程可得．
②分别利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式表示出|AB|和0到直线m的距离，表示出三角形的面积，根据面积为4

2

求得k，进而利用k求得x₁x₂，进而利用λ的表达式求得λ．

解答：解：（1）设M（x，y），则由题设得|MF|=|y+2|-1，
即

x2+(y-1)2

=|y+2|-1
当y≥-2时，

x2+(y-1)2

=y+1，化简得x²=4y；
当y＜-2时，

x2+(y-1)2

=-y-3，
化简得x²=8y+8与y＜-3不合
故点M的轨迹C的方程是x²=4y
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y得x²-4kx+8（k-1）=0（☆）
△=16（k²-2k+2）＞0对k∈R恒成立，所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1）
①由

AP

=λ

PB

，且λ=1得点P是弦AB的中点，
∴x₁+x₂=4，则4k=4，得k=1
∴直线m的方程是x-y=0
②∵|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)2-4x2x1]

=4

(1+k2)(k2-2k+2)

点O到直线m的距离d=

|2-2k|

1+k2

，
∴S_△ABO=

1

2

|AB|•d=4|k-1|

k2-2k+2

=4

(k-1)4+(k-1)2

∵S_△ABO=4

2

，∴4

(k-1)4+(k-1)2

=4

2

，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，（k-1）²=1或（k-1）²=-2（舍去）
∴k=0或k=2
当k=0时，方程（☆）的解为±2

2

若x₁=2

2

，x2=-2

2

，则λ=

2-2 2

-2 2 -1

=3-2

2

若x₁=-2

2

，x2=2

2

，则λ=

2+2 2

2 2 -2

=3+2

2

当k=2时，方程（☆）的解为4±2

2

若x₁=4+2

2

，x2=4-2

2

，则λ=

-2-2 2

2-2 2

=3+2

2

若x₁=4-2

2

，x2=4+2

2

，则λ=

-2+2 2

2+2 2

=3-2

2

所以，λ=3+2

2

或λ=3-2

2

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及了圆锥曲线的基础知识和平面几何的知识，注重了基础和能力的考查．