Question

20．设数列{a_n}共有n项（n≥3，n∈N^*），且a₁=a_n=1，对于每个i（1≤i≤n-1，n∈N^*）均有$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
（1）当n=3时，满足条件的所有数列{a_n}的个数为3；
（2）当n=10时，满足条件的所有数列{a_n}的个数为3139．

Answer 1

分析 （1）当n=3时，由$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．可得a₂∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．$\frac{1}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．即可得出．
（2）令${b}_{i}=\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤9），则对每个符合条件的数列{a_n}满足条件，b₁b₂•…•b₉=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•$…$•\frac{{a}_{10}}{{a}_{9}}$=1，且b_i∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．反之符合上述条件的9项数列{b_n}，可唯一确定一个符合条件的10项数列{a_n}．记符合条件的数列列{b_n}的个数为N，显然b_i（1≤i≤9）中有k个3，k个$\frac{1}{3}$，9-2k个1．当k给定时，{b_n}的取法有${∁}_{9}^{k}{∁}_{9-k}^{k}$种，易得k的可能值为0，1，2，3，4．即可得出．

解答 解：（1）当n=3时，∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
∴a₂∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．$\frac{1}{{a}_{2}}$∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
∴a₂=$\frac{1}{3}$或1或3．
∴满足条件的所有数列{a_n}的个数为3个；
（2）令${b}_{i}=\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤9），则对每个符合条件的数列{a_n}满足条件，
b₁b₂•…•b₉=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•$…$•\frac{{a}_{10}}{{a}_{9}}$=1，且b_i∈{$\frac{1}{3}$，1，3}．
反之符合上述条件的9项数列{b_n}，可唯一确定一个符合条件的10项数列{a_n}．
记符合条件的数列列{b_n}的个数为N，
显然b_i（1≤i≤9）中有k个3，k个$\frac{1}{3}$，9-2k个1
当k给定时，{b_n}的取法有${∁}_{9}^{k}{∁}_{9-k}^{k}$种，易得k的可能值为0，1，2，3，4．
故N=1+${∁}_{9}^{1}{∁}_{8}^{1}$+${∁}_{9}^{2}{∁}_{7}^{2}$+${∁}_{9}^{3}{∁}_{6}^{3}$+${∁}_{9}^{4}{∁}_{5}^{4}$=3139．
∴满足条件的所有数列{a_n}的个数为3139个．

点评 本题考查了数列通项公式的性质、组合数的计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．