在直角坐标系中.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρsin2θ=2cosθ.过点P的直线l:$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$与曲线C交于M.N两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程,(2)求|PM|2+|PN|2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2cosθ，过点P（2，-1）的直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$（t为参数）与曲线C交于M、N两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求|PM|²+|PN|²的值．

分析（1）曲线C：ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；消去参数t得到曲线C的直角坐标方：
（2）将直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$代入曲线C的标准方程：y²=2x得：t²-4$\sqrt{2}$t-6=0，利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系，即可得出结论．

解答解：（1）曲线C：ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2x；
直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x-y-3=0；
（2）将直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcos{{45}°}}\\{y=-1+tsin{{45}°}}\end{array}}$代入曲线C的标准方程：y²=2x得：t²-4$\sqrt{2}$t-6=0，
∴|PM|²+|PN|²=|t₁|²+|t₂|²=（t₁-t₂）²+2t₁t₂=32．

点评本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，考查参数的几何意义．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．

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