Question

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片．
（I）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和不小于7的概率；
（Ⅱ）若第一次随机抽取1张卡片，其上面数字记为a，放回后再随机抽取1张卡片，其上面数字记为b，求关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．
（Ⅱ）设事件B表示“关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根”，则判别式△=4a²-4b²≥0，又a＞0，b＞0，所以a≥b，由此得到基本事件以及满足条件的事件个数，由古典概型概率公式解答．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和不小于7”，
∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），
其中数字之和不小于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），
∴P（A）=

3

4

．
（Ⅱ）设事件B表示“关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根”，则判别式△=4a²-4b²≥0，又a＞0，b＞0，所以a≥b，由题意，基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1）（2，2）（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有16个，其中第一个数为a，第二个数为b，则事件B 包含10个事件，所以事件B发生的概率为

10

16

=

5

8

．

点评：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点．