Question

6．如图，OPQ是半径为2，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．
（1）找出S与θ的函数关系；
（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）由面积公式即可得到S与θ的函数关系．
（2）对三角函数化简，由θ的范围，得到S的最大值．

解答 解：（1）∵S=S_△OPC+S_△OQC=$\frac{1}{2}$OP•0Csin∠POC+$\frac{1}{2}$OQ•OCsin∠QOC
=2sinθ+2sin（$\frac{π}{3}$-θ）（θ∈（0，$\frac{π}{3}$））
（2）由（1）知，S=2sinθ+2sin（$\frac{π}{3}$-θ）
=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）
∵θ∈（0，$\frac{π}{3}$），∴θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）
∴当θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$时，S最大，为2．

点评 本题考查三角形面积公式以及对三角函数化简．