已知φ∈[0.π).函数f是偶函数.则φ=0.f(x)的最小值为$-\frac{9}{8}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ=0，f（x）的最小值为$-\frac{9}{8}$．

分析由函数为偶函数求得φ值，得到f（x）=cos2x+cosx，展开二倍角余弦，然后利用配方法求得最值．

解答解：∵函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，
∴f（-x）-f（x）=cos（-2x）+cos（-x+φ）-cos2x-cos（x+φ）=0恒成立，
即cos（-x+φ）-cos（x+φ）=-2sinφ•sin（-x）=2sinφ•sinx=0恒成立，
∵φ∈[0，π），∴φ=0；
f（x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=$2（cosx+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$．
∴f（x）的最小值为$-\frac{9}{8}$．
故答案为：0，$-\frac{9}{8}$．

点评本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数的奇偶性的性质，训练了利用配方法求二次函数的最值，属中档题．

练习册系列答案

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8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其右焦点为F（c，0），第一象限的点A在椭圆C上，且AF⊥x轴．
（1）若椭圆C过点（1，-$\frac{3}{2}$），求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l：y=x-c与椭圆C交于M、N两点，且B（4c，y_B）为直线l上的点．证明：直线AM，AB、AN的斜率满足k_AB=$\frac{{k}_{AM}+{k}_{AN}}{2}$．

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）若$λ=\frac{3}{4}$，求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若△PF₁F₂为等腰三角形，求λ的值．

16．函数f（x）=3sin$\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+4co{s}^{2}\frac{x}{2}$（x∈R）的最大值等于（　　）

6．

如图，OPQ是半径为2，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP=θ，四边形OPCQ的面积为S．
（1）找出S与θ的函数关系；
（2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．

13．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，则下列结论错误的是（　　）

	A．	f（x）在区间（0，$\frac{π}{6}$）上单调递增
	B．	f（x）的一个对称中心为（-$\frac{π}{12}$，0）
	C．	当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，fx）的值域为[1，$\sqrt{3}$]
	D．	先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，再向左平移$\frac{π}{8}$个单位后得到函数y=2cos（4x+$\frac{π}{6}$）的图象

10．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其右焦点到直线2ax+by-$\sqrt{2}$=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点P（0，-$\frac{1}{3}$）的直线l交椭圆C₁于A，B两点．
①证明：线段AB的中点G恒在椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的内部；
②判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

11．已知函数f（x）=$\frac{x+2}{|x|+2}$，x∈R，则f（x²-2x）＜f（3x-4）的解集是（1，2）．

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