题目内容
【题目】已知点,点A是直线
上的动点,过
作直线
,
,线段
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若点,
是直线
上两个不同的点,且
的内切圆方程为
,直线
的斜率为
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据题意得到:点到点
的距离等于它到直线
的距离,所以点
的轨迹是以点F为焦点,直线
为准线的抛物线,再利用抛物线的定义即可得到曲线
的方程.
(2)首先设,点
,点
,求出直线
的方程,根据圆心
到直线
的距离为
,得到
,同理得到
,即
是关于
的方程
的两根,再根据韦达定理得到
,再求
的范围即可.
(1)因为点,点
是直线
上的动点,
过作直线
,
,线段
的垂直平分线与
交于点
,
所以点到点
的距离等于它到直线
的距离,
所以点的轨迹是以点F为焦点,直线
为准线的抛物线,
所以曲线的方程为
.
(2)设,点
,点
,
直线的方程为:
,
化简得,
因为的内切圆的方程为
,
所以圆心到直线
的距离为
,即
,
整理得:,
由题意得,所以上式化简得
,
同理,有.
所以是关于
的方程
的两根,
,
.
所以,
因为,
,
所以,
直线的斜率
,则
,
所以,
因为函数在
单调递增,
所以,
,
所以0.
即的取值范围是
.
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