题目内容
【题目】已知圆
，圆
，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A．射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OH⊥l与点H，且交曲线C于点Q．问：
的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
为定值，且为
．
【解析】
（1）设
，根据圆的方程求出
的坐标，进而可得
，
，然后得出动点P的轨迹C的方程.
（2）设出直线l的方程为
，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合弦长公式，转化求解即可.
（1）设，则
，
，
所以，，
所以动点
的轨迹C的方程为.
（2）由（1）可知E为C的焦点，设直线l的方程为（斜率不为0时），
且设点M（x1，y1），N（x2，y2），由
，
得
，
所以
，所以
，
又射线OQ方程为y＝﹣mx，代入椭圆C的方程得x2+2（my）2＝4，
即
，
，所以
，
又当直线l的斜率为0时，也符合条件.
综上，为定值，且为.
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