Question

【题目】在平面直角坐标系中，点为椭圆：的右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线、斜率的乘积为，两直线，分别与椭圆交于、、、四点，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设，，，，利用点差法求出直线的斜率为：，又直线的斜率为：，所以，得到，再结合，，即可求出，，的值，从而求得椭圆的方程；

（2）设点，，，，由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求四边形的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入得，再由弦长公式和点到直线距离公式求得，由椭圆的对称性可知：四边形的面积为，从而得到边形的面积为．

（1）由题意可知，，设，，∴，，

又∵点，在椭圆上，∴，两式相减得：，

∴，即直线的斜率为：，

又∵直线过右焦点，过点，∴直线的斜率为：，

∴，∴，又∵，，∴，，∴椭圆的方程为：；

（2）设点，，

由题意可知，，即，①当直线的斜率不存在时，显然，，

∴，又，∴，，

∴四边形的面积，

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

联立方程，消去得：，

∴，，

∴，

∵，∴，

整理得：，

由弦长公式得：，

原点（0，0）到直线的距离，

∴，

由椭圆的对称性可知：四边形的面积为，

综上所述，四边形的面积为.