Question

函数f（x）=（2^x）²-2×2^x+2的定义域为M，值域为[1，2]，给出下列结论：
①M=[1，2]； ②0∈M；③1∈M；④M?[-2，1]；⑤M⊆（-∞，1]； ⑥．M=（-∞，1]
其中一定成立的结论的序号是________．

Answer 1

②③⑤
分析：先设2^x=t，利用换元法求得f（x）=t²-2t+2=（t-1）²+1≥1，结合函数f（x）=（2^x）²-2×2^x+2的值域为[1，2]，及当x=0时，2^x=1，得到其定义域为x=0∈M，为了使得函数f（x）取到最小值1，则1∈M；由于M必定是（-∞，1]子集，以及M可以是[0，1]，即可选出正确答案．
解答：设2^x=t，则t＞0，
f（x）=t²-2t+2=（t-1）²+1≥1，
∵函数f（x）=（2^x）²-2×2^x+2的值域为[1，2]，
∴当x=0时，2^x=1，
∴其定义域为x=0∈M，故②一定成立；
为了使得函数f（x）取到最小值1，则1∈M，故③一定成立；
由于M必定是（-∞，1]子集，故⑥正确；
M可以是[0，1]，故①④⑥错．
故答案为：②③⑤
点评：本小题主要考查函数的定义域及其求法、元素与集合关系的判断、集合的包含关系判断及应用等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．