题目内容
已知函数f（x）=sin（2x+φ）和g(x)=| 3 |
（Ⅰ）设x1是f（x）的极大值点，x2是g（x）的极小值点，求|x1-x2|的最小值；
（Ⅱ）若f(
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）先利用x1是f（x）的极大值点求出x1的表达式，以及x2表达式；代入即可求|x1-x2|的最小值；
（Ⅱ）先对f(
)+g(
)=-1整理得2cos（φ+
）=-1；再结合φ∈（0，π），即可求φ的值．
（Ⅱ）先对f(
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）因为x1是f（x）的极大值点
所以2x1+φ=2kπ+
?x1=kπ+
-φ/2；
同理得：x2=nπ+
-φ/2．
∴|x1-x2|=|（k-n）π-
|=|k-n|π+
．
∴|x1-x2|的最小值为：
．
（Ⅱ）∵f(
)+g(
)=-1=sin（2×
+φ）+
cos（2×
+φ）=cosφ-
sinφ=2cos（φ+
）
∴2cos（φ+
）=-1．
又∵φ∈（0，π），
∴φ+
=
即 φ=
．
所以2x1+φ=2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
同理得：x2=nπ+
| π |
| 2 |
∴|x1-x2|=|（k-n）π-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴|x1-x2|的最小值为：
| π |
| 4 |
（Ⅱ）∵f(
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2cos（φ+
| π |
| 3 |
又∵φ∈（0，π），
∴φ+
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
即 φ=
| π |
| 3 |
点评：本题主要考查正弦函数和余弦函数性质的应用问题．解决第一问的关键在于对正弦函数和余弦函数图象及性质的理解和应用．
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