Question

如图,已知三棱锥O—ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.

(1)求O点到面ABC的距离;

(2)求异面直线BE与AC所成的角;

(3)求二面角E-AB-C的大小.

Answer 1

解法一:(1)取BC的中点D,连结AD、OD.

∵OB=OC,则OD⊥BC、AD⊥BC,

∴BC⊥面OAD.

过O点作OH⊥AD于H,

则OH⊥面ABC,OH的长就是所要求的距离.

BC=,OD= .

∵OA⊥OB, OA⊥OC,

∴OA⊥面OBC,则OA⊥OD.

AD=,在Rt△OAD中,有OH=.

(另解:由V=S_△ABC·OH=OA·OB·OC=,知OH=)

(2)取OA的中点M,连结EM、BM,则EM∥AC,

∠BEM是异面直线BE与AC所成的角.

求得EM=AC=,BE=,

BM=.cos∠BEM=,

∴∠BEM=arccos.

(3)连结CH并延长交AB于F,连结OF、EF.

∵OC⊥面OAB,∴OC⊥AB.

又∵OH⊥面ABC,∴CF⊥AB,EF⊥AB.

则∠EFC就是所求二面角的平面角.

作EG⊥CF于G,则EG=OH=.

在Rt△OAB中,OF==,

在Rt△OEF中,EF=,sin∠EFG=

∠EFG=arcsin (或表示为arccos).

解法二:(1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).

设平面ABC的法向量为n₁=(x,y,z),

则由n₁⊥知n₁·=2x-z=0;

由n₁⊥知n₁·=2y-z=0.

取n₁=(1,1,2),则点O到面ABC的距离为d=.

(2) =(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),=(0,2,-1).

cos〈,〉==,

所以异面直线BE与AC所成的角为arccos.

(3)设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),

则由n⊥知n·=2x-z=0;

由n⊥知n·=2x-y=0.

取n=(1,2,2).

由(1)知平面ABC的法向量为n₁=(1,1,2).

cos〈n,n₁〉=,

结合图形可知,二面角EABC的大小为arccos.