Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

Answer 1

分析：根据题中的条件可建立以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：
（1）根据建立的空间直角坐标系求出

EB

，

AC

然后再利用向量的夹角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求出cos＜

EB

，

AC

＞然后根据cos＜

EB

，

AC

＞≥0则异面直线BE与AC所成角即为＜

EB

，

AC

＞，若cos＜

EB

，

AC

＞＜0则异面直线BE与AC所成角即为π-＜

EB

，

AC

＞进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．
（2）由（1）求出

EB

和平面ABC的一个法向量

n1

然后再利用向量的夹角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求出cos＜

EB

，

n1

＞再根据若cos＜

EB

，

n1

＞≥0则直线BE和平面ABC的所成角为

π

2

-＜

EB

，

n1

＞，若cos＜

EB

，

n1

＞＜0则直线BE和平面ABC的所成角为＜

EB

，

n1

＞-

π

2

然后再根据诱导公式和cos＜

EB

，

n1

＞的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

解答：解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)
∴COS＜＜

EB

，

AC

＞＞=

-2

5 •  5

=-

2

5

                …（5分）
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为

2

5

…（6分）
（2）设平面ABC的法向量为

n1

=(x，y，z) 则

n1

⊥

AB

知

n1

•

AB

=2x-z=0

n1

⊥

AC

知

n1

•

AC

=2y-z=0取

n1

=(1，1，2)，…（8分）
则sin＜

EB

，

n1

＞=

30

30

…（10分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值为

30

30

…（12分）

点评：本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！