Question

数列{a_n}满足，前n项和
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a_n，然后利用数学归纳法进行证明即得．
解答：解：（1）令n=2，∵，∴，即a₁+a₂=3a₂．∴．
令n=3，得，即a₁+a₂+a₃=6a₃，∴．
令n=4，得，a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄，∴．
（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．
①当n=1时，结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即，
则当n=k+1时，
=，
即．
∴
∴．
∴当n=k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N₊都有成立．
点评：此题主要考查数列递推式、数学归纳法．数学归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证．