题目内容
数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an，n∈N*（1）计算数列{an}的前4项；
（2）猜想an的表达式，并证明；
（3）求数列{n•an}的前n项和Tn．
【答案】分析：（1）令n=1、2、3、4，再利用公式Sn=2n-an可以直接求出出数列{an}的前4项，
（2）根据an=Sn-Sn-1可得an=2-an+an-1即：an=
an-1+2，然后整理得an-2=
（an-2），进而求出an的通项公式，
（3）首先求出数列{n•an}的数列表达式
，然后等差数列求和公式求出数列{2n}的前n项和，再利用错位相减法求出数列{
}的前n项和，进而求出数列{n•an}的前n项和Tn．
解答：解：（1）计算得：
．（3分）
（2）∵sn=2n-an当n≥2时
∴sn-1=2（n-1）-an-1两式相减可得：an=2-an+an-1即：
∵
所以，数列{an-2}是首项为a1-2=-1公比为
的等比数列
∵
即
（7分）
当n=1时，a1=1，
∴
，
（3）因为
设数列
的前n项和为MnMn
=
+
+
+
=
+
+
+
两式相减可得：
=
+
+
++
-
=
-
=
-
=2-
Mn
=4-
（12分）
点评：本题主要考查数列求和和数列递推式的知识点，求数列递推式可以用数学归纳法也可以直接利用an=Sn-Sn-1可求出an的通项公式，第三问求和需要利用错位相减法解答，本题难度不是很大．
（2）根据an=Sn-Sn-1可得an=2-an+an-1即：an=
an-1+2，然后整理得an-2=（an-2），进而求出an的通项公式，（3）首先求出数列{n•an}的数列表达式
，然后等差数列求和公式求出数列{2n}的前n项和，再利用错位相减法求出数列{}的前n项和，进而求出数列{n•an}的前n项和Tn．解答：解：（1）计算得：
．（3分）（2）∵sn=2n-an当n≥2时
∴sn-1=2（n-1）-an-1两式相减可得：an=2-an+an-1即：
∵
所以，数列{an-2}是首项为a1-2=-1公比为
的等比数列∵
即
（7分）当n=1时，a1=1，
∴
，（3）因为
设数列
的前n项和为MnMn=
+++=
+++两式相减可得：
=++++-=
-=-=2-
Mn=4-
（12分）点评：本题主要考查数列求和和数列递推式的知识点，求数列递推式可以用数学归纳法也可以直接利用an=Sn-Sn-1可求出an的通项公式，第三问求和需要利用错位相减法解答，本题难度不是很大．
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