Question

【题目】已知棱长为1的正方体中，下列数学命题不正确的是( )

A.平面平面，且两平面的距离为

B.点在线段上运动，则四面体的体积不变

C.与所有12条棱都相切的球的体积为

D.是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项；

研究四面体的底面面积和高的变化判断选项；

与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项；

根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项.

对于选项，平面平面，

平面，同理可证平面，

平面，平面平面，

正方体的对角线，设到平面的距离为，

则，

，则平面与平面的距离为，

故正确；

对于选项，点在线段上运动，点到底面的距离不变，

底面积不变，则体积不变，故正确；

对于选项，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线，

则球的半径为，球的体积为，故正确；

对于选项，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为，

则的外接圆是正方体外接球的一个小圆，

是正方体的内切球的球面上任意一点，

是外接圆的圆周上任意一点，

线段的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，

正方体棱长为1，

线段的最小值为，故错误.

故选:D.