Question

已知点A（-

3

，0），B（

3

，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 y=x-2交于D、E两点，求线段DE的中点坐标及其弦长DE．

Answer 1

分析：利用双曲线的定义可得点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，由2a=2，2c=2

3

，求得双曲线的标准方程；把直线 y=x-2代入双曲线方程化简可得x₁+x₂=-4，x₁•x₂=6，进而利用弦长公式求得DE．

解答：解：∵|CB|-|CA|=2＜2

3

=|AB|，∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，2a=2，2c=2

3

，
∴a=1，c=

3

，∴b=

2

，∴点C的轨迹方程为 x2-

y2

2

=1．
把直线 y=x-2代入 x2-

y2

2

=1化简可得 x²+4x-6=0，△=16-4（-6）=40＞0，
设D、E两点的坐标分别为（x₁，y₁ ）、（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-6．
∴线段DE的中点坐标为M（-2，4），DE=

1+1

•|x₁-x₂|=

2

•

(x1 +x2)2-4x1 •x2

 
=

2

16-4(-6)

=4

5

．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质、弦长公式的应用，利用弦长公式是解题的关键，属于基础题．