题目内容

已知点A(-3,0),B(3,0),动点P到A的距离与到B的距离之比为2.
(1)求P点的轨迹E的方程;
(2)当m为何值时,直线l:mx+(2m-1)y-5m+1=0被曲线E截得的弦最短.
分析:(1)设点P(x,y),由题意可知:|PA|=2|PB|,由两点间的距离公式化简可得轨迹E的方程.
(2)要使得直线l被曲线E截得的弦最短,需 d=
|5m-5m+1|
m2+(2m-1)2
=
1
5m2-4m+1
达到最大,由二次函数的性质可得当m=
2
5
时,d取得最大值.
解答:解:(1)设点P(x,y),由题意可知:|PA|=2|PB|,则
(x+3)2+y2
=2
(x-3)2+y2

故P点的轨迹E的方程为:(x-5)2+y2=16.
(2)要使得直线l被曲线E截得的弦最短,必须圆心O1(5,0)到直线l的距离最大,
此时d=
|5m-5m+1|
m2+(2m-1)2
=
1
5m2-4m+1
达到最大,
令f(m)=5m2-4m+1,则f(m)在m=
2
5
时,取得最小值
1
5
,d取得最大值.
故当m=
2
5
时,直线l被曲线E截得的弦最短,此时弦长为2
11
点评:本题考查求点的轨迹方程的方法,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,求得d的最大值是解题的关键.
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