Question

20．已知函数f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）对于x∈[2，6]，f（x）＞ln$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．
（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞0，
解得：x＞1或x＜-1，
函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}．
f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$，
那么：f（-x）=ln$\frac{1-x}{-x-1}$=ln（$\frac{x-1}{x+1}$）=ln$（\frac{x+1}{x-1}）^{-1}$=-ln$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x）
故函数f（x）是奇函数；
（2）由题意：x∈[2，6]，
∴（x-1）（7-x）＞0，
∵$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，可得：m＞0．
即：ln$\frac{x+1}{x-1}$＞ln$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，
整理：ln$\frac{x+1}{x-1}$-ln$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，
化简：ln$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞0，
可得：$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞1，
（x+1）（7-x）-m＞0，即：-x²+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，只需m小于-x²+6x+7的最小值．
令：y=-x²+6x+7=-（x-3）²+16
开口向下，x∈[2，6]，
当x=6时，y取得最小值，即${y}_{min}=-（6-3）^{2}+16=7$，
所以：实数m的取值范围（0，7）．

点评 本题考查了对数函数的性质的运用能力和化简计算能力．属于基础题．