Question

设是椭圆上的两点，点是线段的中点，
线段的垂直平分线与椭圆相交于两点.
（1）确定的取值范围，并求直线的方程；
（2）试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由.

Answer 1

（1）解法一：设直线的方程为，代入    
整理得      ①
设，，② 且
由是线段的中点，得，解得，代入②得
所以直线的方程为，即            （5分）
解法二：设，（点差）则有，
∵是线段的中点，
又在椭圆内部，，即，
∴直线的方程为，即
（2）解法一：因为垂直平分，所以直线的方程为，
即，代入椭圆方程，整理得
设，的中点，
且，
即，由弦长公式得③，
将直线的方程代入椭圆方程得④，
同理可得⑤                （9分）
因为当时，，所以
假设存在，使四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心。
点到直线的距离⑥，
于是，
故当时，在以为圆心，为半径的圆上        （12分）

答案