Question

．设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于两点.
（1）确定的取值范围，并求直线的方程；
（2）试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由.

Answer 1

 
（1）解法一：设直线的方程为，代入 
整理得     ①
设，，②
且
由是线段的中点，得，解得，代入②得
所以直线的方程为，即                     （5分）
解法二：设，（点差）则有，因为是线段的中点，
又在椭圆内部，
，即，
所以直线的方程为，即
（1）      解法一：因为垂直平分，
（2）      所以直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得
设，的中点，
且，即，
由弦长公式得③，
将直线的方程代入椭圆方程得④，
同理可得⑤        （9分）
因为当时，，所以
假设存在，使四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心。点到直线的距离⑥，
于是，
故当时，在以为圆心，为半径的圆上            （12分）

略