题目内容
已知x，y，z为正实数，且
+
+
=1，求x+4y+9z的最小值
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| z |
36
36
此时 x=6
6
，y=3
3
，z=2
2
．分析：依题意，x+4y+9z=（x+4y+9z）•（
+
+
），展开后利用基本不等式即可．
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| z |
解答：解：∵x，y，z为正实数，
+
+
=1，
∴x+4y+9z=（x+4y+9z）•（
+
+
）
=1+4+9+（
+
）+（
+
）+（
+
），
∵x，y，z为正实数，
∴
+
≥4（当且仅当x=2y时取等号）；
+
≥6（当且仅当x=3z时取等号）；
+
≥12（当且仅当2y=3z时取等号）；
∴1+4+9+（
+
）+（
+
）+（
+
）≥36（当且仅当x=2y=3z时取等号），
即x+4y+9z≥36．
由
+
+
=1，得：
+
+
=1，
∴x=6，y=3，z=2．
故答案为：36；6，3，2．
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| z |
∴x+4y+9z=（x+4y+9z）•（
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| z |
=1+4+9+（
| x |
| y |
| 4y |
| x |
| x |
| z |
| 9z |
| x |
| 4y |
| z |
| 9z |
| y |
∵x，y，z为正实数，
∴
| x |
| y |
| 4y |
| x |
| x |
| z |
| 9z |
| x |
| 4y |
| z |
| 9z |
| y |
∴1+4+9+（
| x |
| y |
| 4y |
| x |
| x |
| z |
| 9z |
| x |
| 4y |
| z |
| 9z |
| y |
即x+4y+9z≥36．
由
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| z |
| 1 |
| x |
| 2 |
| x |
| 3 |
| x |
∴x=6，y=3，z=2．
故答案为：36；6，3，2．
点评：本题考查基本不等式，注意等号成立的条件是关键，也是难点，属于中档题．
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