题目内容

选修4-2：矩阵及其变换
（1）如图，向量
OA
和
OB
被矩阵M作用后分别变成
OA′
和
OB′
，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求y=sin(x+
π
3
)在M作用后的函数解析式；
选修4-4：坐标系与参数方程
（ 2）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（3，
5
），求|PA|+|PB|．
选修4-5：不等式选讲
（3）已知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．
分析：（1）（Ⅰ）二阶矩阵把点变换成点，利用待定系数法及二阶矩阵与平面列向量的乘法，可求矩阵M，
（Ⅱ）二阶矩阵把点变换成点，借此又可解决坐标变换问题，注意变换前后点的坐标间的关系．
（2）（Ⅰ）由圆C的方程为ρ=2
5
sinθ，能求出圆的直角方程．
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2-3
2
t+4=0，再由点P的坐标为（3，
5
），能求出|PA|+|PB|．
（3）由柯西不等式，得x+4y+9z=[（
x
）2+（2
y
）2+（3
z
）2]•[（
1
x
）2+（
1
y
）2+（
1
z
）2]，由此能求出x+4y+9z取得最小值．
解答：解：（1）（Ⅰ）设M=
ab
cd
，
∵
OA
=(1，1)，
OB
=(1，2)矩阵M作用后分别变成
OA′
=（2，2），
OB′
=（2，4），
∴用待定系数求得M=
20
02
．（4分）
（Ⅱ）∵M=
20
02
，∴
x=
x′
2
y=
y′
2
，解得
x′=2x
y′=2y
，
再坐标转移法得y′=2sin（
x
2
+
π
3
）．（7分）
（2）（Ⅰ）∵圆C的方程为ρ=2
5
sinθ，
∴ρ2=2
5
ρsinθ，
∴圆的直角方程：x2+(y-
5
)2=5
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2-3
2
t+4=0
由△=(3
2
)2-4×4=2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根
所以
t1+t2=3
2
t1•t2=4
，又直线l过点(3，
5
)，故结合t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3
2
．…7 分
（3）解：由柯西不等式得
x+4y+9z=[（
x
）2+（2
y
）2+（3
z
）2]•[（
1
x
）2+（
1
y
）2+（
1
z
）2]
≥(
x
•
1
x
+2
y
•
1
y
+3
z
•
1
z
)2
=36．…（4分）
当且仅当x=2y=3z时等号成立，…（5分）
此时x=6，y=3，z=2…（6分）
所以当x=6，y=3，z=2时，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）
点评：第（1）题考查矩阵及其变换，第（2）题考查坐标第与参数方程，第（3）题考查不等式．这三道小题都是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
（2013•盐城一模）B．（选修4-2：矩阵与变换）
    已知矩阵M
12
2x
的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．

（本小题满分14分）

选修4-2：矩阵及其变换

（1）如图，向量被矩阵M作用后分别变成，

（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）并求在M作用后的函数解析式；

选修4-4：坐标系与参数方程

（ 2）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。

（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆与直线交于点。若点的坐标为（3，），求。

选修4－5：不等式选讲

（3）已知为正实数，且，求的最小值及取得最小值时的值．

 
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（1）如图，向量被矩阵M作用后分别变成，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求在M作用后的函数解析式；
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（ 2）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
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（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．
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（3）已知x，y，z为正实数，且，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．
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（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求在M作用后的函数解析式；
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（ 2）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
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选修4-5：不等式选讲
（3）已知x，y，z为正实数，且，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

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