Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{c-3b}{a}$=$\frac{cos（A+B）}{cosA}$．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin²$\frac{B+C}{2}$-2sin（A-$\frac{π}{3}$）•sin（A+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可得出结论．
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用及特殊角的三角函数值即可化简求值．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{c-3b}{a}$=$\frac{cos（A+B）}{cosA}$，
利用正弦定理可得3sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化为3sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）sin²$\frac{B+C}{2}$-2sin（A-$\frac{π}{3}$）•sin（A+$\frac{π}{3}$）=cos²$\frac{A}{2}$-2（$\frac{1}{4}$sin²A-$\frac{3}{4}$cos²A）=$\frac{1+cosA}{2}$-$\frac{1}{2}$sin²A+$\frac{3}{2}$cos²A=$\frac{cosA+4co{s}^{2}A}{2}$=$\frac{\frac{1}{3}+4×（\frac{1}{3}）^{2}}{2}$=$\frac{7}{18}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值的应用，考查了计算能力，属于中档题．