Question

5．函数f（x）=Asin（ωx+θ）的图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$后，得到函数g（x）的图象，则g（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上的取值范围为（　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，2]
• B． （-1，$\sqrt{2}$]
• C． [0，2]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值可得f（x）的解析式；再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式；再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上的取值范围．

解答 解：根据函数f（x）=Asin（ωx+θ）的图象，可得A=2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$，∴ω=2，
再根据五点法作图，可得2•$\frac{π}{12}$+φ=0，∴φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=-2cos2x的图象；
再把纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$后，
得到函数g（x）=-2cos4x的图象．
在[0，$\frac{π}{6}$]上，4x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，cos4x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴g（x）=-2cos4x∈[-2，1]，
故选：D．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律；考查正弦函数的定义域和值域，属于中档题．