Question

设函数

(Ⅰ) 求证：为奇函数的充要条件是；

(Ⅱ) 设常数，且对任意恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）当的取值范围是；当的取值范围是

解析:

（I）充分性：若

，对一切x∈R恒成立，

是奇函数

必要性：若是奇函数，则对一切x∈R，恒成立，即

令 

再令 

（II）取任意实数不等式恒成立，

故考虑

对（1）式，由b < 0时，在为增函数，

                       （3）

对（2）式，当

当

                     （4）

由（3）、（4），要使a存在，必须有

∴当 

当为减函数，（证明略）

综上所述，当的取值范围是；

当的取值范围是

解法二：

由于b是负数，故

（1），

则

其中（1），（3）显然成立，由（2），得（*）

（2），

①

综合（*），得值不存在

②

综合（*），得 

③

综合（*），得不存在

综上，得