题目内容
【题目】已知函数
，
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由题意可得
（
），分类讨论可得当
时，
在
上单调递减； 当
时，在
上，单调递增；在
上，单调递减.
（2）由题意可得
（
），切线放缩可得
，分类讨论和
两种情况可得实数
的取值范围．
（1）由题知
（），
①当时，恒有
，得在上单调递减；
②当时，由
，得
，在上，有
，单调递增；
在上，有，单调递减.
（2）由题知
（），
由时，恒有
，知
，
①当
，即时，
恒成立，即
在上单调递增，
（合题意）；
②当时，即时，此时导函数有正有负，且有
，
由，得
，且
在上单调递增，
当时， 
，
， 
，
，
故
在
上存在唯一的零点
，当
时，
，
即在
上递减，此时
，知在上递减，
此时
与已知矛盾（不合题意）；
综合上述：满足条件的实数的取值范围．
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