题目内容
【题目】已知双曲线
与
有相同的渐近线，且经过点
，
（1）求双曲线
的方程，并写出其离心率与渐近线方程；
（2）已知直线
与双曲线交于不同的两点
，且线段
的中点在圆
上，求实数
的取值.
【答案】（1）双曲线的方程为
，离心率
，其渐近线方程为
.（2）
【解析】
（1）先由题意设双曲线
的方程为
，根据
，求出
，即可得双曲线方程；进而可求出离心率与渐近线方程；
（2）联立直线
与双曲线的方程，设
，
，由中点坐标公式，韦达定理，以及题中条件，即可求出结果.
（1）
双曲线与双曲线
有相同的渐近线，
设双曲线的方程为，
代入，得
，，
故双曲线的方程为.
由方程得
，
，故离心率
其渐近线方程为.
（2）联立直线与双曲线的方程，
，
经整理得
，
，
设，，则的中点坐标为
，
由韦达定理，
，
，
的中点坐标为
，
又
在圆
上，
，
.
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