Question

16．若点P（x，y）在圆（x-2）²+y²=3上．
（1）$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值和最小值；
（2）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示（x，y）与原点的距离，由于圆心（2，0）到原点的距离为2，圆的半径为$\sqrt{3}$，可得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值和最小值；
（2）设k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．

解答 解：（1）$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示（x，y）与原点的距离，由于圆心（2，0）到原点的距离为2，圆的半径为$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值为2+$\sqrt{3}$，最小值为2-$\sqrt{3}$；
（2）设k=$\frac{y}{x}$，即kx-y=0，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{3}$，
解得-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
故$\frac{y}{x}$的最大值是$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，根据圆心到直线的距离和半径之间的关系是解决本题的关键．