Question

已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x-1
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且c=，f（c）=0，sinB=3sinA，求△ABC的面积；
（3）若＜α＜，f（α）=-，求sin2α的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最小值；
（2）由C为三角形的内角，求出2C-的范围，由f（C）=0，求出sin（2C-）的值，利用特殊角的三角函数值求出2C-的度数，进而确定出C的度数，求出cosC的值，再由c的值，利用余弦定理列出关于a与b的方程，利用正弦定理化简sinB=3sinA，得到a与b的另一个方程，联立两方程求出a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（3）由第一项确定的解析式及f（α）的值，求出sin（2α-）的值，由α的范围求出2α-的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α-）的值，将所求式子sin2α的角2α变形为（2α-）+，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出值．
解答：解：（1）f（x）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，
当2x-=2kπ-，k∈Z，即x=kπ-，k∈Z时，sin（2x-）最小值为-1，
则f（x）取得最小值为-2；
（2）∵C为三角形的内角，∴-＜2C-＜，
又f（C）=sin（2C-）-1=0，即sin（2C-）=1，
∴2C-=，即C=，又c=，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab=（）²=7，
将sinB=3sinA利用正弦定理化简得：b=3a，
解方程组，得：a=1，b=3，
则S△ABC=absinC=；
（3）f（α）=sin（2α-）-1=-，即sin（2α-）=，
∵＜α＜，∴＜2α-＜，
∴cos（2α-）==-，
则sin2α=sin[（2α-）+]=sin（2α-）cos+cos（2α-）sin=×-×=．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．