Question

椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，离心率为，以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（0，m）存在直线l与椭圆C交于相异两点A，B，满足：且，求常数λ的值和实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为 由题意得出a，b，c的关系，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量条件即可求得m的取值范围，从而解决问题．
解答：解：（1）设椭圆的方程为：，
由题意知，，且，
解得：a=1，．
故椭圆C的方程为：y²+2x²=1．
（2）由得，，
∴，
∴1+λ=4，λ=3．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，
且与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得：（k²+2）x²+2kmx+m²-1=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，，，
由得-x₁=3x₂，
∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
消去x₁，x₂得：3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即，（4m²-1）k²=2-2m²．
当时，上式不成立，∴，
代入△＞0，即k²＞2m²-2，得恒成立，
即，解得，
∴或．
当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=0得．
综上所述：m的取值范围为．
点评：本题考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，向量问题，成为解决本题的关键．本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．