Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=

1

2

，P为椭圆上一动点．F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为

3

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l与圆x²+y²=1相切且与椭圆C相交于A、B两点，求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆的方程，利用离心率和a，b与c的关系求得a和b的关系，根据椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△PF₁F₂的面积最大，进而求得bc的关系，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）先对直线l的斜率分类讨论，当直线l的斜率不存在时，求出

OA

•

OB

的值；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，联立l与椭圆C的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得

OA

•

OB

的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（I）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，
则

a2-b2

a

=

1

2

，所以

3

a=2b、
由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，
△PF₁F₂的面积最大，故|F₁F₂|b=bc=

3

，
解得a=2，b=

3

．
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y

3

=1．
（II）当直线l的斜率不存在时，因l与与圆x²+y²=1相切，∴l：x=1，此时A（1，

3

2

），
B（1，-

3

2

），∴

OA

•

OB

=1-

9

4

=-

5

4

；
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，因l与与圆x²+y²=1相切，∴

|m|

1+k2

=1，整理得m²=k²+1，
联立l与椭圆C的方程，消去y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=48（4k²+3-m²）=48（3k²+2）＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，
x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3m2-12k2

4k2+3

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4m2-12

4k2+3

+

3m2-12k2

4k2+3

=

-5(k2+1)

4k2+3

=-

5

4

-

5

4(4k2+3)

∵4k²+3≥3，
∴0＜

5

4(4k2+3)

≤

5

12

，-

5

3

≤

OA

•

OB

＜-

5

4

．
综上，

OA

•

OB

的取值范围是[-

5

3

，-

5

4

]．

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．