题目内容
（2010•武汉模拟）若椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过左焦点F（-c，0）的直线交椭圆C于P、Q两点，若
=(1，
)，且
+
=
．
（1）若
=λ
，求实数λ值；
（2）求椭圆C的方程．
| FP |
| 3 |
| 1 |
| |PF| |
| 1 |
| |QF| |
| 4 |
| 3 |
（1）若
| PF |
| FQ |
（2）求椭圆C的方程．
分析：（1）先由向量的坐标求出向量
的模，又结合题中条件：
+
=
得到关于λ的等式即可实数λ值；
（2）设直线的方程为y=
(x+c)，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用
+
=
即可求得b值，从而解决问题．
| FP |
| 1 | ||
|
|
| 1 | ||
|
|
| 4 |
| 3 |
（2）设直线的方程为y=
| 3 |
| 1 |
| |PF| |
| 1 |
| |QF| |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（1）∵
=λ
，λ＞0，又
=(1，
)有|
|=2
又
+
=
则有
+
=
，求得λ=
…（6分）
（2）设过左焦点的直线与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2）
由椭圆的第二定义可知：|PF|=a+cx1=a+
(1-c)=2则2a=c+b2
又y=
(x+c)代入
+
=1中得(b2+3a2)x2+6a2cx+a2(3c2-b2)=0
得x1+x2=
，x1x2=
又
+
=
+
=
=
=
=
，即b2=
a
又b2=2a-c，从而求得a=2，c=1，b=
因此所求椭圆方程为
+
=1．…（13分）
| PF |
| FQ |
| FP |
| 3 |
| FP |
又
| 1 | ||
|
|
| 1 | ||
|
|
| 4 |
| 3 |
则有
| 1 |
| 2 |
| λ |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
（2）设过左焦点的直线与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2）
由椭圆的第二定义可知：|PF|=a+cx1=a+
| c |
| a |
又y=
| 3 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
得x1+x2=
| -6a2c |
| b2+3a2 |
| a2(3c2-b2) |
| b2+3a2 |
又
| 1 |
| |PF| |
| 1 |
| |QF| |
| 1 |
| a+ex1 |
| 1 |
| a+ex2 |
=
| 2a+e(x1+x2) |
| a2+ae(x1+x2)+e2x1x2 |
2a+
| ||||
a2+c(
|
=
| 8a(a2-c2) |
| 4(a2-c2)2 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
又b2=2a-c，从而求得a=2，c=1，b=
| 3 |
因此所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．
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