Question

3．已知函数f（x）=x²+ax-3a²lnx，（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（2x+3a）（x-a）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x₁=a，x₂=-$\frac{3a}{2}$（舍），
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	极小值	递增

∴f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；
（2）由（1）得：当0＜a≤1时，f（x）在[1，e]递增，f（x）_min=f（1）=1+a，
1＜a＜e时，f（x）在[1，a]递减，在[a，e]递增，f（x）_min=f（a）=2a²-3a²lna，
a≥e时，f（x）在[1，e]递减，f（x）_min=f（e）=e²+ae-3a²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．