Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|{x+1}|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}$，若函数h（x）=f（x）-x-a在区间[-2，4]内有3个零点，则实数a的取值范围是（-2，0）∪{1}．

Answer 1

分析 作出函数y=f（x）和y=x+a的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．

解答 解：若0≤x≤2，则-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|，0≤x≤2．
若2≤x≤4，则0≤x-2≤2，
∴f（x）=2f（x-2）=2（2-2|x-2-1|）=4-4|x-3|，2≤x≤4．
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．
设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，、
等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[-2，4]内有3个不同的零点．
作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：
，
当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x-2，
当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，
当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，
则a=1或-2＜a＜0．
故答案为：（-2，0）∪{1}．

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．