Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E为AD的中点．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）在棱AB上是否存在点F，使EF与平面PDC成角正弦值为

15

5

，若存在，确定线段AF的长度，不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用面面垂直，可得线面垂直，从而可得线线垂直，进而可得线面垂直，即可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用使EF与平面PDC成角正弦值为

15

5

，建立方程，即可确定线段AF的长度．

解答： （1）证明：连接PE，EB，
因为平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，E为AD的中点，
所以PE⊥平面ABCD，PE⊥AD…（2分）
因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，E为AD的中点，
所以BE⊥AD…（4分）
因为PE∩BE=E，所以AD⊥面PBE，所以AD⊥PB…（6分）
（2）解：以E为原点，EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系…（7分）
则A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，C(-2，

3

，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，

3

)
因为点F在棱AB上，设F(x，

3

(1-x)，0)，面PDC法向量

u

=(a，b，c)
因为

u

•

DP

=a+

3

c=0，

u

•

DC

=-a+

3

b=0
所以

u

=(

3

，1，-1)，…（9分）
所以|cos＜

u

，

EF

＞|=

3

5 x2+3(1-x)2

=

15

5

，解得x=

1

2

，…（11分）
所以存在点F，AF=1…（12分）

点评：本题考查面面垂直、线面垂直的性质与判断，考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．