Question

14．已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R），且f（-1）+f′（-1）=-8．
（1）求f（a）的值；
（2）求F（x）=f（x）+f′（x）-4x的极大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（-1），f（-1），得到关于a的方程，解出即可；
（2）求出F（x）的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²-4，
∴f′（x）=-3x²+2ax，
f′（-1）=-3-2a，f（-1）=a-3，
∵f（-1）+f′（-1）=-8，
∴a-3-3-2a=-8，解得：a=2，
∴f（a）=f（2）=-4；
（2）由（1）得：a=2，
∴f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x，
∴F（x）=-x³-x²-4，
F′（x）=-3x²-2x=-x（3x+2），
令F′（x）＞0，解得：-$\frac{2}{3}$＜x＜0，
令F′（x）＜0，解得：x＞0或x＜-$\frac{2}{3}$，
∴F（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$）递减，在（-$\frac{2}{3}$，0）递增，在（0，+∞）递减，
∴F（x）_极大值=F（0）=-4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．