Question

3．定义在（-2，2）上函数f（x）满足f（-x）=f（x），且f（1-a）-f（1-a²）＜0，若f（x）在（-2，0）上是减函数，则a取值范围（　　）

• A． （0，1）∪（1，$\sqrt{3}$）
• B． （-1，1）
• C． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• D． （-1，3）

Answer 1

分析 容易得出f（x）为偶函数，并得出f（x）在（0，2）上为增函数，从而由f（1-a）-f（1-a²）＜0，即可得到f（|1-a|）＜f（|1-a²|），进而得出|1-a|＜|1-a²|．可判断a≠1，从而得到1＜|1+a|，从而解得a＞0，或a＜-2，又f（x）定义在（-2，2）上，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{-2＜1-a＜2}\\{-2＜1-{a}^{2}＜2}\end{array}\right.$，这样解出a的范围与前面得出a的范围求交集即可得出a的取值范围．

解答 解：f（-x）=f（x），x∈（-2，2）；
∴f（x）为偶函数；
f（x）在（-2，0）上是减函数；
∴f（x）在（0，2）上是增函数；
f（1-a）-f（1-a²）＜0；
∴f（1-a）＜f（1-a²）；
∴f（|1-a|）＜f（|1-a²|）；
∴|1-a|＜|1-a²|；
显然a≠1，1-a≠0；
∴1＜|1+a|；
∴a＞0，或a＜-2；
又$\left\{\begin{array}{l}{-2＜1-a＜2}\\{-2＜1-{a}^{2}＜2}\end{array}\right.$；
解得$-1＜a＜\sqrt{3}$；
∴0＜a＜1，或1$＜a＜\sqrt{3}$；
∴a的取值范围为$（0，1）∪（1，\sqrt{3}）$．
故选A．

点评 考查偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，增函数定义的运用，以及绝对值不等式的解法，注意f（x）的定义域．