Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为

8

3

．
（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；
（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使DF⊥GC，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件构造求过点P，C，B，G四点长方体，根据长方体的体对角线和球直径之间的关系即可求出球的表面积；
（2）根据线面所成角的定义，求出直线DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）根据直线垂直的性质，即可确定F的位置．

解答：解：（1）由四面体P-BCG的体积为

8

3

．
∴PG=4
以GP，GB，GC构造长方体，外接球的直径为长方体的体对角线．
∴（2R）²=16+4+4，
∴R=

6

∴V=4π×6=24π．
（2）由GB=GC=2
∴△BGC为等腰三角形，GE为∠BGC的角平分线，
作DK⊥BG交BG的延长线于K，
∴DK⊥面BPG．由平面几何知识可知：DK=GK=

3

2

PD=

41 2

，
设直线DP与平面PBG所成角为α
∴sinα=

DK

DP

=

3 82

82

．
（3）∵GB，GC，GP两两垂直，分别以GB，GC，GP为x，y，z轴建立坐标系
假设F存在且设F（0，y，4-2y）（0＜y＜2）
∵D(-

3

2

，

3

2

，0)，G(0，0，0)，C(0，2，0)
∴

DF

=(

3

2

，y-

3

2

，4-2y)，

GC

=(0，2，0)，
又直线DF与GC所成的角为90⁰
∴cos900=

| DF • GC |

| DF || GC |

=

|2y-3|

| DF || GC |

=0
∴y=

3

2

∴当

CF

CP

=

1

4

时满足条件．

点评：本题主要考查空间球表面积求法，以及直线和平面所成角的求法，要求熟练掌握相应的公式和定理性质．