Question

已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=GD，GB⊥GC，GB=GC=2，PC=4，E是BC的中点．
(Ⅰ)求证：PC⊥BG；
(Ⅱ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
(Ⅲ)若F是PC上一点，且DF⊥GC，求的值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为PG⊥平面ABC， 所以PG⊥BC， 又BG⊥CG， 所以BG⊥面PCG， 所以PC⊥BG。
(Ⅱ)解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如图所示， ， ∴。 (Ⅲ)设， 则点， 又， ∴，， 由DF⊥DC，得， ∴，解得：， ∴。