题目内容
已知函数
．（Ⅰ）用a表示f（2）、f（3）并化简；
（Ⅱ）比较f（2）-2与f（1）-1，f（3）-3 与f（2）-2的大小关系，并由此归纳出一个更一般的结论（此结论不要求写出证明过程）；
（Ⅲ）比较
与
，
与
的大小关系，并由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．
【答案】分析：（1）先根据函数f（x）的表达式直接把x=2，x=3代入计算即得．
（2）直接计算f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3，进行比较．比较大小可用做差比较法．
归纳一般的结论，构造函数利用单调性进行证明．
（3）利用基本不等式和做差比较法比较大小，归纳结论，构造函数进行证明．
解答：解：（Ⅰ）
，
，…（2分）
（Ⅱ）
，
，
一般地，f（n+1）-（n+1）＞f（n）-n（n∈N*） …（6分）
（Ⅲ）
，所以
…（7分）
判断
，证明如下：
，（*）
因为a2+1＞2a＞0，
，所以（*）式显然成立，所以
．…（9分）
一般地
（n∈N*） …（10分）
证明如下：
＞0
，
此式显然成立，
故
（n∈N*）…（15分）
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列与不等式的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
（2）直接计算f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3，进行比较．比较大小可用做差比较法．
归纳一般的结论，构造函数利用单调性进行证明．
（3）利用基本不等式和做差比较法比较大小，归纳结论，构造函数进行证明．
解答：解：（Ⅰ）
，
，…（2分）（Ⅱ）
，
，一般地，f（n+1）-（n+1）＞f（n）-n（n∈N*） …（6分）
（Ⅲ）
，所以
…（7分）判断
，证明如下：
，（*）因为a2+1＞2a＞0，
，所以（*）式显然成立，所以
．…（9分）一般地
（n∈N*） …（10分）证明如下：
＞0
，此式显然成立，
故
（n∈N*）…（15分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列与不等式的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
．
与
，
与
．
与
，
与
的大小，并由此归纳出一个更一般的结论．（不要求写出证明过程）．