Question

已知函数f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，a＞1．
（1）用a表示f（2），f（3），并化简；
（2）比较

f(2)

2

与

f(1)

1

，

f(3)

3

与

f(2)

2

的大小，并由此归纳出一个更一般的结论．（不要求写出证明过程）．

Answer 1

分析：（1）直接计算f（2），f（3），即可；
（2）利用基本不等式和做差比较法比较大小，归纳结论，构造函数进行证明．

解答：解：（1）直接计算知：
f（2）=a+a^-1，f（3）=a²+a^-2+1，
（2）

f(1)

1

=1，

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)，

f(3)

3

=

a2+1+a-2

3

，
根据基本不等式

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)＞1=

f(1)

1

，

f(3)

3

-

f(2)

2

＞

f(3)

3

-[

f(2)

2

]2=

(a-a-1)2

12

＞0，
所以

f(3)

3

＞

f(2)

2

＞

f(1)

1

．
归纳：?x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．
记 g(x)=

f(x)

x

，x＞0，g/(x)=

xf/(x)-f(x)

x2

a

x2

×

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，
设 h(x)=

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，
则h（0）=0且 h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

，
讨论知 h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

＞0，
从而h（x）＞h（0）=0，g′（x）＞0，g（x）在R⁺上单调增加，
所以?x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．

点评：本题考查比较大小、归纳推理、函数单调性的证明及应用，综合性强，难度较大．