题目内容
【题目】已知离心率为
的椭圆
过点
，点
分别为椭圆的左、右焦点，过
的直线
与
交于
两点，且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）求证：以
为直径的圆过坐标原点.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】试题分析：
(1)利用离心率结合椭圆所过的点得到关系
的方程组，求解方程组即可求得椭圆的标准方程；
(2)分类讨论，当斜率不存在的时候单独考查，当斜率存在的时候设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和平面向量的结论证得
即可.
试题解析：
（Ⅰ）点
， 
分别为椭圆的左右焦点，椭圆的方程为
；
由离心率为
得： 
；
过点
得： 
；
所以， 
， 
；椭圆方程为
；
（Ⅱ）由（1）知
， 
；令
， 
；
当直线
的斜率不存在时，直线方程为
；
此时， 
，不满足；设直线方程为
；
代入椭圆方程得： 
韦达定理： 
， 
；
所以， 
，
；
所以， 
；
点
到直线
的距离为
；
所以，由
得： 
；
所以，以
为直径的圆过坐标原点
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使用时间 |
|
|
|
|
|
人数 | 10 | 40 | 25 | 20 | 5 |
（Ⅰ）已知该校大一学生由2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；
（Ⅱ）作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅲ）估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
