题目内容
【题目】已知函数(
为常数)的图象在
处的切线方程为
.
(1)判断函数的单调性;
(2)已知,且
,若对任意
,任意
,
与
中恰有一个恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递减.(2)
【解析】试题分析:(1)先求函数的定义域,利用列方程组,可求得
,代回函数的导函数可得函数导数恒小于零,故函数在定义域上递减.(2)由(1)知函数在
上的最小值为
,最大值为
,故原不等式等价于
或
,分离常数得
,或
对任意
恒成立,利用导数求得
的最大值,利用二次函数求最值的方法求得
的最小值,由此可求得
的取值范围.
试题解析:(1)∵函数的定义域为
,
∴,由条件得
,
把代入
得
,∴
,即
,
.
∴,
.
∵,∴
,∴
在
上单调递减.
(2)由(1)知, 在
上单调递减,
∴在
上的最小值为
,最大值为
,
∴只需或
,
即或
对任意
恒成立.
令,则
,
令得
,而
恒成立,
∴当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
∴的最大值为
.而
,
,显然
,
∴在
上的最大值为
,又
,
∴或
,即
或
.
∴实数的取值范围是
.
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2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
注: